Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Divide $1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Paso 2.2

Divide $1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Paso 2.3

Divide $1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 \cdot 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Paso 2.6

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.6.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 2.7

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.7.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 2.8

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.8.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 2.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Paso 5

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} \end{array}]$